Lógica

Va un recordatorio básico sobre el concepto general de validez de un razonamiento deductivo para tener presente cuando se resuelven ejercicios sobre el tema. (Aclaración terminológica: los dos "valores de verdad" son Verdadero y Falso).

* Puede definirse un razonamiento como una secuencia finita de oraciones o proposiciones, una de las cuales, llamada “conclusión”, se presenta como consecuencia lógica de las demás, llamadas “premisas”.

* Un razonamiento no es verdadero o falso, sino válido o inválido.

Las que son verdaderas o falsas son las oraciones (o proposiciones) que lo

componen. La lógica no se ocupa de determinar qué proposiciones son verdaderas, sino qué razonamientos son válidos (y qué significa exactamente 'razonamiento válido').

* Como primera aproximación, podemos decir que un razonamiento es válido cuando su conclusión se sigue de sus premisas. Es decir: suponiendo que sus premisas son verdaderas, por lógica la conclusión debe serlo también. Los razonamientos válidos son tales que si parten de premisas verdaderas, la conclusión tiene que ser verdadera también.

* La validez o invalidez de un razonamiento depende, no de su contenido, sino de su forma o estructura. Podemos decir que un razonamiento es válido si tiene una forma o estructura válida. Y una forma es válida cuando no admite ejemplos con todas sus premisas verdaderas y su conclusión falsa. Si una forma de razonamiento es válida, entonces todo ejemplo suyo en que las premisas son verdaderas tendrá indefectiblemente conclusión verdadera.

* Para mostrar que un razonamiento dado es inválido, basta mostrar que tiene forma inválida; y por lo que acabamos de decir, esto se puede hacer dando un ejemplo de razonamiento de esa misma forma que tenga premisas verdaderas y conclusión falsa. Tal ejemplo se denomina “contraejemplo” a dicha forma.

Ejemplo:

Si Martín toma Pepsi, es admirador de Messi

Martín es admirador de Messi

(Por tanto), Martín toma Pepsi

Para indagar acerca de la validez de este razonamiento, deberíamos ver, no si las cosas que se dijeron son verdaderas o falsas o suenan bien o mal, sino ver cuál es la estructura (forma) del razonamiento y determinar si puede hallársele algún contraejemplo a la misma. La estructura de este razonamiento es claramente:

Si p entonces q

q

-----------------------

p

O usando la flecha "==>" como condicional:

p ==>q

q

-------------

p

Y resulta ser una forma inválida (recibe el nombre de "falacia de afirmación del consecuente"), porque pueden hallarse contraejemplos, es decir, ejemplos de esta forma cuyas premisas quedan todas V y la conclusión F. El siguiente es uno:

Si Ginnobili es futbolista, entonces es deportista      V

Ginnobili es deportista                                               V

-----------------------------------------------------------

Ginnobili es futbolista                                                F

* Para cada una de las cuatro combinaciones de valores en premisas y conclusión, hay ejempos de razonamientos inválidos con esa combinación. Esto es muy importante porque implica lo siguiente. Ninguna combinación de valores de verdad en premisas y conclusión puede implicar que un razonamiento ES válido, ya que para cada una de las cuatro combinaciones, existen razonamientos inválidos con esa misma combinación.

* Para cada combinación de valores en premisas y conclusión excepto V/F, hay ejemplos de razonamientos válidos con esa combinación.

* Así, el hecho de que un razonamiento dado tenga premisas verdaderas y conclusión verdadera no implica que sea válido. Porque, como dijimos, también hay razonamientos inválidos en que las premisas y la conclusión son, de hecho, verdaderas (pero la conclusión no es consecuencia lógica de las premisas). 

Por ejemplo:

La Tierra es un planeta

Júpiter es un planeta

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Sarmiento fue presidente

Evidentemente, éste es un razonamiento inválido porque su conclusión no se deduce válidamente de las premisas, pero tanto las premisas como la conclusión son, de hecho, verdaderas.

* ¿Cómo podemos probar, entonces, que una forma de razonamiento ES válida, es decir, que no admite contraejemplos - y, por tanto, que cualquier razonamiento de esa forma es válido? Mostrando que es imposible un contraejemplo. ¿Cómo?

Hay varias maneras de hacer esto, que la lógica estudia. En la lógica proposicional, podemos hacerlo sirviéndonos simplemente de las "tablas" de los conectivos que aparecen en la forma dada. Por ejemplo, puede probarse que cualquier razonamiento de la forma

p & q

-------

   p

es válido del siguiente modo (usamos & como símbolo de conjunción: corresponde a “y” en castellano; el apunte usa otro símbolo para lo mismo). Si ésta fuera una forma inválida, debería haber algún caso o ejemplo en que las premisas (en este caso hay sólo una) son verdaderas y la conclusión falsa. Pero tal caso es imposible, ya que si su conclusión, representada por "p", fuera falsa, la premisa también tendría que ser falsa (pues "p&q" es falsa con tal que alguna de las dos oraciones, "p", "q", sea falsa: esto lo sabemos por la tabla del conectivo &). Así, al haber demostrado que no hay contraejemplo posible para la forma de razonamiento evaluada, concluimos que ella es válida: jamás nos puede conducir de premisas verdaderas a una conclusión falsa.

Nota para interesados: Los métodos de la lógica proposicional que proceden haciendo una "tabla" para las proposiciones involucradas (o un condicional asociado) permiten mecanizar nuestra evaluación de la validez una forma de razonamiento: podemos decidir la cuestión en un número finito de pasos siguiendo instrucciones que no requieren pensar; una computadora puede hacerlo. Esto es una suerte de privilegio de la lógica proposicional: cuando pasamos a una lógica un poco más compleja (la lógica cuantificacional), saber si una forma de razonamiento tiene o no contraejemplos no es una cuestión mecanizable (no podemos hacer que una computadora resuelva el problema por nosotros).

Ejercicio de práctica. Mostrar que los siguientes razonamientos son inválidos hallando otros razonamientos con la misma forma que tengan premisas verdaderas y conclusión falsa. (No se pide que se resuelva el ejercicio con conocimiento de tablas de verdad etc., sino de modo intuitivo; de hecho, tienen una respuesta para el primero en las explicaciones que dimos)

1)

Si pensamos bien, nos fue bien

Nos fue bien

---------------------------------------------

Pensamos bien

2)

Si Manuel es asceta, no come carne

Manuel no es asceta

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Manuel come carne.